实数

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數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\mathbb{N}$
負數
 整數 $\mathbb{Z}$
有理數 $\mathbb{Q}$
無理數
實數 $\mathbb{R}$
虛數
 複數 $\mathbb{C}$
代數數
 超越數

延伸

雙複數
 超複數
 四元數 $\mathbb{H}$
共四元數
 複四元數
 八元數 $\mathbb{O}$
十六元數
 Tessarine
超數
 大實數
 極實數
 超實數

其他

公稱值
 雙曲複數 $\mathbb{R}^{1,1}$
序列號
 超限數
 序數
 基數
 質數
 P進數
 規矩數
 可計算數
 整數序列
 數學常數
 大數
 圓周率 π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
虛數單位 $i 2 = - 1$
無窮 ∞

数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本來實數僅稱作數，後來引入了虚数概念，原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。

实数可以分为有理数（如42、 $-\frac{23}{129}$ ）和无理数（如π、√2）两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母R 或 $\Bbb{R}$ 表示。而 Rⁿ 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

[编辑] 历史

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。

直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

[编辑] 定义

[编辑] 從有理數构造實數

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。實數可以不同方式從有理數构造出來。这里给出其中一种，其他方法请詳見實數的构造。

[编辑] 公理的方法

设 R 是所有实数的集合，则：

集合 R 是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
- 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
- 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 x'y ≥ 0。
集合 R 满足戴德金完备性，即任意 R 的非空子集 S (S ⊆ R, S ≠ ∅)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 $\sqrt2$ 不是有理数）。

實數通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 R₁ 和 R₂，存在从 R₁ 到 R₂ 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

[编辑] 例子

15 (整数)
2.121 (有限小数)
1.3333333... (无限循环小数)
π = 3.1415926... (无限不循环小数)
$\sqrt3$ (无理数)
$\frac1 3$ (分数)

[编辑] 性质

[编辑] 基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

[编辑] 完備性

作为度量空間或一致空間，實數集合是个完备空间，它有以下性质：

所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。实际上，它有個實數極限 $\sqrt 2$ 。實數是有理數的完备化——這亦是构造實數集合的一种方法。

極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於欧几里德几何的直線沒有“空隙”。

[编辑] 完备的有序域

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

[编辑] 高级性质

实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2^ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。

所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。

[编辑] 拓撲性質

實數集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集，它也具有序拓撲。這裡，從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊致空間。這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽：

令 $a\;$ 為一實數。 $a\;$ 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。
$\mathbb R$ 是可分空間。
$\mathbb Q$ 在 $\mathbb R$ 中處處稠密。
$\mathbb{R}$ 的開集是開區間的聯集。
$\mathbb{R}$ 的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
每個 $\mathbb R$ 中的有界序列都有收斂子序列。
$\mathbb R$ 是連通且單連通的。
$\mathbb R$ 中的連通子集是線段、射線與 $\mathbb R$ 本身。由此性質可迅速導出中間值定理。
區間套定理：設 $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 為一個有界閉集的序列，且 $F_n \supset F_{n+1}$ ，則其交集非空。嚴格表法如下：